¿Cuál es el concepto de fractal dentro de la ciencia?

Para comenzar, por tradición más que nada, el concepto de fractal se asocia a una figura auto semejante o auto similar, esto es que la estructura de la misma es idéntica si hacemos un zoom de la misma.

Ejemplos de algún que otro concepto de fractal

Algunos ejemplos comunes de fractales en el día a día podrían ser los copos de nieve, el romanescu o los relámpagos.

Sin embargo, matemáticamente no existe una definición tan precisa de qué es un objeto fractal, sino que para estudiarlos entendemos como fractales de un espacio métrico a todos los subconjuntos compactos no vacíos de dicho conjunto. Aclarando un poco más este concepto, denotaremos a todos los conjuntos cerrados y acotados del espacio métrico X (un espacio métrico es un espacio definido con una métrica o distancia, usualmente trabajamos en el plano euclídeo, que corresponde al plano bi-dimensional con la distancia tradicional correspondiente a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados).

Asimismo, con esta definición de fractal, tú, yo y cualquier objeto sólido en general será un fractal en el espacio tridimensional.

Definición de concepto de fractal dentro de la ciencia

Sin embargo, en esta entrada he decidido centrarme en las curvas que llenan el espacio (space-filling curves en inglés), éstas son curvas un tanto atípicas si podemos acaso concederles la categoría de curvas como podréis comprobar posteriormente. Estas curvas que llenan el espacio son estudiadas por el Análisis Matemático principalmente y definidas como curvas que contienen el cuadrado unidad [0,1]x[0,1] completamente, aunque se puede generalizar el concepto para dimensiones superiores y para superficies distintas aplicando transformaciones lineales y/o rotaciones.

Para simplificar un poco el concept, o acercarlo a un público mayor, es como si cogiésemos una hebra de un hilo muy fino y fuésemos rellenando un cuadrado con ella. En general, las curvas, por ser unidimensionales, no encierran un área y en cambio, en este caso particular no es difícil admitir que éstas sí que lo hacen, exactamente el área de la región que cubren.

Históricamente, deberíamos remontarnos a finales del siglo XIX para encontrarnos las primeras curvas de este tipo, más concretamente a 1890, cuando Peano dio la curva que lleva su nombre como contra-ejemplo a la hipótesis de que una curva puede encerrarse en un conjunto tan pequeño como queramos.

Obviamente después de lo visto no es posible, pero, ¿cómo es esta curva?

Lo que normalmente aparece en todos los lugares como curva de Peano no es en sí dicha curva, sino que es una iteración concreta, sin embargo, la curva en sí se obtiene al iterar una función que va del intervalo [0,1] al cuadrado unidad.

Carece de sentido exponer aquí la forma de dicha función pues lo que nos interesa es el resultado de iterarla infinitas veces. Como cabía esperar, al realizar este proceso tantas veces como queramos, la curva que vamos obteniendo se acercará en forma a dicho cuadrado que pretendíamos llenar con nuestro fino hilo.

De hecho, si pudiésemos con un ordenador dibujar las infinitas iteraciones, lo que obtendríamos sería el cuadrado, una mancha negra en forma de cuadrado que poco tiene de curva y algo más de superficie o sección del plano.

Esto mismo ocurre con otras curvas como la de Hilbert, que no es sino el cuadrado unidad pero recorrido por una curva definida de una forma distinta. Dos cuestiones curiosas que nos permite afirmar toda la teoría de fractales son que dicha curva es continua en todos los puntos del cuadrado y que es sobreyectiva en dicho punto, esto significa que todo punto del cuadrado tiene su lugar en la curva.

Quizá lo más sorprendente es que, con una curva de infinita longitud de dimensión uno podemos cubrir un área totalmente, sobre todo teniendo en cuenta que las curvas son a grosso modo hilos infinitesimalmente finos.

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